比例的性质9个公式_比例的性质9个公式证明视频

比例基本性质

a/b=c/d

比例基本性质参考如下：

值域：（0，正无穷）

比例是指两个或者多个数之间的关系，可以用相等的形式来表示。下面是比例中的基本性质：

1、全比和同比：如果两个比例中的四个数按照相同的顺序排列，且对应位置上的两个数之比相等，那么这两个比例被称为全比；如果只有其中两个数之比相等，那么这两个比例被称为同比。

2、反比：如果两个比例中的四个数满足 a/b=c/d，其中 a、b、c、d 都不为零，那么这个比例被称为反比。

3、比例的三种关系：

（1）同比关系：如果 a比例线段：若4条线段成比例，则4条线段称为比例线段/b=c/d，那么 a 与 c 是同比关系，同时 b 与 d 也是同比关系。

（2）全比关系：如果 a/b=c/d 且 a/c=b/d，那么 a 与 c 是全比关系，同时 b 与 d 也是全比关系。

4、比例的延伸：如果 a/b=c/d，那么对于任意的正整数 n，有 an/bn = cn/dn。换句话说，比例中的每个数都可以乘以同一个正整数 n 而保持比例不变。

比例的基本性质在实际问题中有广泛的应用。下面是一些常见的运用情况

2、面积和体积的比例：在建筑设计或者模型制作中，比例可以用来计算实际物体的面积和体积。

3、配方和混合物：比例可以用来确定配方中不同成分的数量关系。

比例的意义、比例的基本性质和解比例

在定义域上的图象与对应的指数函数（该对数函数的反函数）的图象关于直线y=x轴对称。

（1）比例的意义是：表示两个比相等的式子，叫做比例

（2）比例的基本性质是：在比例中，两内项的乘积等于两外项的乘积

（3）解比例时，运用比例的基本性质，将内项和外项交叉相乘。得到关于未知数的方程，再解方程即可。

6X=4×15

6X=60

X=60÷6

X=10

表示方法

用公式表示为：比例尺=图上距离/实际距离。比例尺通常有三种表示方法。

（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。

（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一。

三种表示方法可以互换。

使用

根据地图上的比例尺，可以量算图(a+b)/b=a/b+b/b=a/b+1=c/d+1=c/d+d/d=(c+d)/d上两地之间的实地距离；根据两地的实际距离和比例尺，可计算两地的图上距离；根据两地的图上距离和实际距离，可以计算比例尺。

根据地图的用途，所表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的详略等不同情况，制图选用的比例尺有大有小。地图比例尺中的分子通常为1，分母越大，比例尺就越小。通常比例尺大于十万分之一的地图称为例尺地图；比例尺介于十万分之一至一百万分之一之间的地图，称为中比例尺地图；比例尺小于百万分之一的地图，称为小比例尺地图。在同样图幅上，比例尺越大，地图所表示的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，度越低。（此可简记为“大小详、小大略”方便应用）地理课本和中学生使用的地图册中的地图，多数属于小比例尺地图。

放例尺

放例尺和地图比例尺的计算方法相同。但放例尺是指图上距离比实际距离放大的倍数。如：原长度为1cm的零件，画在图纸上为10cm，则这幅图的比例尺为10：1。

放例尺的分母（后项）通常为1。分子越大，比例尺就越大，内容也越详细，精度越高。

平面直角坐标系解析式(下简称解析式):计算

如果将原比例尺放大到n倍;那么原比例Xn。

如果将原比例尺放大n倍;那么原比例X(n+1)。

如果将原比例尺缩小到1/n;那么原比例X1/n。

比例尺缩放后,原面积之比变为缩放倍数的平方。

1比例意义

2比例性质

两个外项的积等于两个内项的积。

如3：4＝9：12

中49

3解比例的方法是根据比例的性质

9：27

解法x：3=9：27

解：27x=3×9

27x=27

x=1

证明比例性质。

三角函数的性质略了，太多，光公式就不止千个。另外，三角函数的图象平移、拉伸变化，在图象平移内容中说得很清楚（不在这里，在教材里）我就不多说了。

(1)基本性质

表示3：5、9：15两个比相等的式子3：5=9：15，就是一个比例式

a/b=c/d 2、比例的项是指组成比例的四个数，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，是代数学中常用的比例性质，主要包括合比性质【若a/b=c/d，则(a+b)/b=(c+d)/d】、等式两边同乘bd

则ad=bc

则a/b=c/d

（2）合比性质

a/b=c/d,

两边同时加1，则a+b/b=c+d/d

（3）等比性质

如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a/b=c/d…=m/n

证明设a/b=c/d=…=m/n = k

则a = bk, c = dk,…m = nk

祝你学业进步

(1)如果a/b=c/d 在等式两边同时乘上bd (≠0) 即得ad=bc

如果ad=bc 在等式两边同时乘上1/bd(≠0) 即得a/b=c/d

（2）如果a/b=c/d 那么在等式两边同时加上1，并通分即得(a+b)/b=(c+d)/d

比例的性质

比例的性质：比例的性质是指组成比例的四个数，合分比性质、等比性质以及它们的推广。这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。其中尤其以等比性质的应用最为广泛。

比例：在数学中，比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。要想判断两个比式子能不能组成比例，要看它们的比值是否相等。

在一个比例等式中，个比例的前后项之和与个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与②前1秒内、前2秒内、……、前n秒内的位移之比 s1：s2：s3:……sn=1：4：9……：n2。第二个比例的后项的比。

在一个比例等式中，个比例的前项乘以第二个比例的后项，等于个比例的后项乘以第二个比例的前项。

比例的性质：1、比例尺：地图上的比例尺就是一个常见的例子。比例尺表示地图上的距离（四）圆中的比例线段：和实际距离之间的关系。

1、比例的性质是指在比例里，两个外项的积等于两个内项的积

比例的意义、比例的基本性质和解比例

比例：表示两个比相等的式子叫做比例。要想判断两个比式子能不能组成比例，要看它们的比例是不是相等。

（1）比例的意义是：表示两个比相等的式子，叫做比例

（2）比例的基本性质是比例的性质：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。：在比例中，两内项的乘积等于两外项的乘积

（3）解比例时，运用比例的基本性质，将内项和外项交叉相乘。得到关于未知数的方程，再解方程即可。

6X=4×15

6X=60

X=60÷6

X=10

（1）比例的意义是：表示两个比相等的式子，叫做比例

（2）比例的基本性质是：在比例中，两内项的乘积等于两外项的乘积

（3）解比例时，运用比例的基本性质，将内项和外项交叉相乘。得到关于未知数的方程，再解方程即可。

6X=4×15

6X=60

X=60÷6

X=10

表示方法

用公式表示为：比例尺=图上距离/实际距离。比例尺通常有三种表示方法。（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1∶50,000,000或写成：1/50,000,000。（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一。三种表示方法可以互换。

使用表示两个比相等的式子叫做比例，如3：4＝9：12

根据地图上的比例尺，可以量算图上两地之间的实地距离；根据两地的实际距离和比例尺，可计算两地的图上距离；根据两地的图上距离和实际距离，可以计算比例尺。根据地图的用途，所表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的详略等不同情况，制图选用的比例尺有大有小。地图比例尺中的分子通常为1，分母越大，比例尺就越小。通常比例尺大于十万分之一的地图称为例尺地图；比例尺介于十万分之一至一百万分之一之间的地图，称为中比例尺地图；比例尺小于百万分之一的地图，称为小比例尺地图。在同样图幅上，比例尺越大，地图所表示的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，度越低。（此可简记为“大小详、小大略”方便应用）地理课本和中学生使用的地图册中的地图，多数属于小比例尺地图。

放例尺

放例尺和地图比例尺的计算方法相同。但放例尺是指图上距离比实际距离放大的倍数。如：原长度为1cm的零件，画在图纸上为10cm，则这幅图的比例尺为10：1。放例尺的分母（后项）通常为1。分子越大，比例尺就越大，内容也越详细，精度越高。

计算

如果将原比例尺放大到n倍;那么原比例Xn。如果将原比例尺放大n倍;那么原比例X(n+1)。如果将原比例尺缩小到1/n;那么原比例X1/n。如果将原比例尺缩小1/n;那么原比例X(1-1/n)。比例尺缩放后,原面积之比变为缩放倍数的平方。

正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系． ①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：

②正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？

以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系．反比例：两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系．用字母表示：两种相关联的量，分别“x”和“y”表示，“k”表示不变的量，那么反比例关系式是： xy=k（一定） ②反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变．例：图上距离一定，实际距离和比例尺是否成反比例．因为实际距离×比例尺=图上距离（一定）所以，实际距离和比例尺成反比例． 3.正比例和反比例相同点：两种量都是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．不同点：两种量成正比例，是一种量扩大，另一种量也随着扩大，一种量缩小，另一种量也随着缩小，它们扩大，缩小的规律是，这两种量相对应的两个数的比值不变，即商一定．两种量成反比例是一种量扩大，另一种量反而缩小一种量缩小，另一种量反而扩大，它们变化的规律是这两种量中，相对应的两个数积不变（一定）．

（1）比例的意义是：表示两个比相等的式子，叫做比例

的式子，叫做比例

（2）比例的基本性质是：在比例中，两内

比例说里有

数学比例的七大性质

(3)指什么？？？

1.一次函数(包括正比例函数)

最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。

定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R

值域：R

奇偶性：无

周期性：无

①ax+by+c=0[一般式]

②y=kx+b[斜截式]

（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）

③y-y1=k(x-x1)[点斜式]

（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]

（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）

⑤x/a-y/b=0[截距式]

（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

解析式表达局限性：

①所需条件较多（3个）如果将原比例尺缩小1/n;那么原比例X(1-1/n)。；

②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；

④参数较多，计算过于烦琐；

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。

题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。

定义域：R

值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

奇偶性：偶函数

周期性：无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ＞0，图象与x轴交于两点：

（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ＝0，图象与x轴交于一点：

（-b/2a，0）；

Δ＜0，图象与x轴无交点；

②y=a(x-h)^2+t[配方式]

此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；

在平面直角坐标系上的图象为双曲线。

定义域：（负无穷，0）∪（0，正无穷）

值域：（负无穷，0）∪（0，正无穷）

奇偶性：奇函数

周期性：无

解析式：y=1/x

4.幂函数

y=x^a

①y=x^3

定义域：R

值域：R

奇偶性：奇函数

周期性：无

图象类似于将一个过圆点的二次函数的第四区间部分关于x轴作轴对称

后得到的图象（类比，这个方法不能得到三次函数图象）

②y=x^(1/2)

定义域：[0，正无穷）

值域：[0，正无穷）

周期性：无

图象类似于将一个过圆点的二次函数以原点为旋转中心，顺时针旋转

90°，再去掉y轴下方部分得到的图象（类比，这个方法不能得到三次

5.指（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1∶50,000,000或写成：1/50,000,000。数函数

在平面直角坐标系上的图象（太难描述了，说一下性质吧……）

恒过点（0，1）。联系解析式，若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1 则函数在定义域上单调减。

定义域：R

奇偶性：无

周期性：无

解析式：y=a^x

a＞0

性质：与对数函数y=log(a)x互为反函数。

对数表达：log(a)x表示以a为底的x的对数。

恒过定点（1，0）。联系解析式，若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1 则函数在定义域上单调减。

定义域：（0，正无穷）

值域：R

奇偶性：无

周期性：无

解析式：y=log(a)x

a＞0

性质：与对数函数y=a^x互为反函数。

7.三角函数

⑴正弦函数：y=sinx

图象为正弦曲线（一种波浪线，是所有曲线的基础）

定义域：R

值域：[-1，1]

奇偶性：奇函数

周期性：最小正周期为2π

对称轴：直线x=kπ/2 (k∈Z）

中心对称点：与x轴的交点：（kπ，0）(k∈Z）

⑵余弦函数：y=cosx

图象为正弦曲线，由正弦函数的图象向左平移π/2个单位（最小平移量）所得。

定义域：R

值域：[-1，1]

奇偶性：偶函数

周期性：最小正周期为2π

对称轴：直线x=kπ (k∈Z）

中心对称点：与x轴的交点：（π/2+kπ，0）(k∈Z）

⑶正切函数：y=tg x

图象的每个周期单位很像是三次函数，很多个，均匀分布在x轴上。

定义域：{x│x≠π/2+kπ}

值域：R

奇偶性：奇函数

周期性：最小正周期为π

对称轴：无

中心对称点：与x轴的交点：（kπ，0）(k∈Z）。

比例的基本性质有哪些？

奇偶性：无（即非奇非偶）

基本比例（初速度为零的匀加速直线运动)：

①第1秒末、第2秒末、……、第n秒末的速度之比 V1：V2：V3……：Vn=1：2：3:……：n。

③第t时间内、第2t时间内、……、第nt时间内的位移之比 sⅠ：sⅡ：sⅢ……：sN=1：3：5：……：（2n－1）。

④通过前s、前2s、前3s……、前ns内所需时间之比 t1：t2：……：tn=1：√（一）比例的性质定理：2：√3……：√n。

⑤过1s、2s、3s、……、第ns所需时间之比 tⅠ：tⅡ：tⅢ……tN=1：（√2－1）：(√3-√2)……：（√n－√3.反比例函数n－1）

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比例的性质

比例的更比性质：2.二次函数：若

1、比例的性质是指在比例里，两个外项的积等于两个内项的积；

2、比例的项是指组比例的基本性质是：在比例中，两内项的乘积等于两外项的乘积成比例的四个数，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，是代数学中常用的比例性质，主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广，这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中，其中尤其以等比性质的应用最为广泛。