圆锥曲线难题

1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。

圆锥曲线的参数方程 圆锥曲线的参数方程ppt

圆锥曲线的参数方程 圆锥曲线的参数方程ppt

2. 双曲线：到两个定点的距离的的为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。

4. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。

圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。

·圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程：

参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 )

直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

2）双曲线

参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数 )

直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）

3）抛r=a(1-e^2)/(1-ecosθ)。物线

参数方程：x=2pt^2 y=2pt (t为参数)

直角坐标：y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )

圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为

ρ=ep/(1-e×cosθ)

其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）

椭圆：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径。

|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex

P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex

P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex

P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey

P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey

圆锥曲线的切线方程：圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y^2

即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2+y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)

在求曲线的轨迹方程时，如果能够将题设条件转化为具有某种动感的直观图形，通过观察图形的变化过程，发现其内在联系，找出哪些是变化的量（或关系）、哪些是始终保持不变的量（或关系），那么我们就可以从找出的不变量（或关系）出发，打开解题思路，确定解题方法。

圆锥曲线漫谈

圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。

我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大就像抛物线y^2=2px到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。

由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。

由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。

由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。

对于圆锥曲线的最早发现，众说纷法。有人说，古希腊数学家在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设x、y为a和2a的比例中项，即。a：x＝x：y＝y：2a，则x=ay, y＝2ax，xy＝2a，从而求得x＝2a。又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为，古代天文学家在制作日晷时发现了圆锥曲线。日晷是一个倾斜放置的圆盘，垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上，杆影的移动可以计时。而在不同纬度的地方，杆绘成不同的圆锥曲线。然而，日晷的发明在古代就已失传。

早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius,前262~前190）。他与欧几里得是同时代人，其巨著《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。

在《圆锥曲线》中，阿波罗总结了前人的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上，又提出许多自己的创见。全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。

现在，我们都知道，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线以及它们的退化形式：两相交直线，一条直线和一个点，如图1，所示。

在此，我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的定义。如图2，给定圆BC及其所在平面外一点A，则过A且沿圆周移动的一条直线生成一个双锥面。

这个圆叫圆锥的底，A到圆心的直线叫圆锥的轴（未画出），轴未必垂直于底。

设锥的一个截面与底交于直线DE，取底圆的垂直于DE的一条直径BC，于是含圆锥轴的△ABC叫轴三角形.轴三角形与圆锥曲线交于P、P’,PP’未必是圆锥曲线的轴，PP’M是由轴三角形与截面相交而定的直线，PM也未必垂直于DE。设QQ’是圆锥曲线平行于DE的弦，同样QQ’被PP’平分，即VQ=QQ’。

现作AF∥PM，交BM于F，再在截面上作PL⊥PM。如图3，PL⊥PP’

对于椭圆、双曲线，取L满足，而抛物线，则满足，对于椭圆、双曲线有QV=PV·VR，对于抛物线有QV=PV·PL，这是可以证明的两个结论。

在这两个结论中，把QV称为圆锥曲线的一个纵坐标线，那么其结论表明，纵坐标线的平方等于PL上作一个矩形的面积。对于椭圆来讲，矩形PSRV尚未填满矩形PLJV；而双曲线的情形是VR＞PL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而抛物线，短形PLJV恰好填满。故而，椭圆、双曲线、抛物线的原名分别叫“亏曲线”、“超曲线”和“齐曲线”。这就是阿波罗尼引入的圆锥曲线的定义。

阿波罗尼所给出的两个结论，也很容易用现代数学符号来表示：

趋向无穷大时，LS=0，即抛物线，亦即椭圆或双曲线的极限形式。

在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展。11世纪，数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程，12世纪起，圆锥曲线经传入欧洲，但当时对圆锥曲线的研究仍然没有突破。直到16世纪，有两年事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。一是德国天文学家开普勒（Kepler,1571~1630）继承了的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；二是意大利物理学家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式。于是，对圆锥曲线的处理方法开始有了一些小变动。譬如，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,1545~1607）椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。不过，这对圆锥曲线性质的研究推进并不大，也没有提出更多新的定理或新的证明方法。

17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆。从而他个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式。譬如，椭圆有两个焦点F1、F2，如图4，若左焦点F1固定，考虑F2的移动，当F2向左移动，椭圆逐渐趋向于圆，F1与F2重合时即为圆；当F2向右移动，椭圆逐渐趋向于抛物线，F2到无穷远处时即为抛物线；当F2从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来，即为双曲线；当F2继续向右移动，F2又与F1重合时即为两相交直线，亦即退化的圆锥曲线。这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础。

随着射影几何的创始，原本为画家提供帮助的投射、截影的方法，可能由于它与锥面有着天然的联系，也被用于圆锥曲线的研究。在这方面法国的三位数学家笛沙格（Desargue15－ 1661）、帕斯卡（Pascal，1623－ 1662）和拉伊尔（Phailippe de La Hire，1640～1718）得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理，可谓别开生面。而当法国另外两位数学家笛卡儿和费马创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼，又不同于投射和截影法，而是朝着解析法的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的方程，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一。

到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的二次方程也被化为几种标准形式，或者引进曲线的参数方程。1745年欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程。出发，圆锥曲线的各种情形，经过适当的坐标变换，总可以化以下标准形式之一：

继欧拉之后，三维解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如往面、椭球面、单叶和双叶双曲面、以及各种抛物面等。

总而言之，圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域，还是在我们的实际生活中都占有重要的地位，人们对它的研究也不断深化，其研究成果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识事物的目的和规律。

圆锥曲线的光学性质

椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上

双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上

抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴

椭圆的参数方程是？

（1)熟练掌握圆锥曲线的几何定义和准线定义，深刻理解“数形结合”的思想，这是解析几何的灵魂和精髓：用代数思想研究几何问题，实现定量求解；

应该是椭圆方程，不是椭圆函数，函数要满足给x一个值，y有确定的值与之对应。

相关性质：

椭圆的参数方程为：

x=acosα

y=bsinα

其中：a代表半长轴的长度，b代表半短轴的长度，α表示与x周正半轴所成的角度（逆时针），且a^2=b^2+c^2，且c/a为椭圆的离心率。

一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上。

e为椭圆的离心率=c/a。

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解。

x=a×cosβ，y=b×sinβ，a为长轴长的一半。

由于平面截圆锥或圆柱得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥曲线也称圆锥截线。

参数方程

（1）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。

（2）举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。

有关圆锥曲线的所有关系式

双曲线：

圆锥曲线通用的离心率公式e=c/a

学习圆锥曲线，首先要记熟基本概念，定义式，很多填空，选择题其实可以用

定义很快的解决，如果用解析法去算很花时间

至于圆锥曲线的大题，高考必有一道，运算量一般都会是相当大的，因此要提高自己运算的速度和正确度。熟悉常考的几种题型：如直线与圆锥曲线相切的问题，中点弦，轨迹方程……以及常用的方法：判别式，韦达定理，点法，也可用导数求切线方程……

初学圆锥曲线，一般学生可能会感到比较困｜t｜.难，这是正常的，实际上高考要求达到的水平不是很高，只要你按照老师要求的去做，自己注意总结，归纳，能把考试中的错题收集起来，（圆锥曲线的题不要做很多，高中的只有那些

题型)你就能够提高这方面的能力。

数学选修讲什么

一、考纲要求

【2-2】章 导数及其应用

第二章 推理与证明

第三章 数系的扩充与复数的引入

【2-3】1.离散型随机变量及分布列

2.二项分布及其应用

3.离散型随机变量均值与方

4.正态分布

【4-4】讲 坐标系

1.平面直角坐标系 2.极坐标系 3.简单曲线的极坐标系 4.柱坐标系与球坐标系 第二讲 参数方程 1.曲线的参数方程 2.圆锥曲线的参数方程 3.直线的参数方程 4.渐近线与摆线

【4-5】 讲 不等式和不等式 1.不等式 2.不等式 第二讲 证明不等式的基本方法 1.比较法 双曲线2.综合法与分析法 3.反证法与放缩法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 1.二维形式的柯西不等式 2.一般形式的柯西不等式 3.排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式 1.数学归纳法 2.用数学归纳法证明不等式 打这么久也不容易,是吧.如要再详细一点再联系.

什么是椭圆的参数方程

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线

椭圆的参数方程x=acosθ,y=bsinθ。

(一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上)

r=a(1-e^2)/(1-ecosθ)

(e为椭圆的离心率=c/a)

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问（5)分类讨论的思想：体现理性思维的严密性，具体情况具体分析。题转化为三角函数问题求解

x=a×cosβ， y=b×sinβ a为长轴长的一半

相关性质

由于平面截圆锥(或圆柱)得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥曲线(也称圆锥截线)。

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知:截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆

例:已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.

1.求椭圆C的方程.

2.直线l:y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的值.

3.在⑵的基础上求△AOB的面积.

一、分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义)，可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√(a^2-c^2)=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，

二、要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括号表示)弦长=3√2/2，对于p点面积，它到弦的距离应，设已经找到p到弦的距离。

过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会，这个切线平行故斜率的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2,-2.结合图形m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5)。

三、直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得√2/2，面积1/2√2/23√2/2=3/4

直线，圆，圆锥曲线参数方程中参数的意义，举例说明

P为此点,OP与X轴正方向的夹角就是t,O是原点

椭圆是x2/a+

3. 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。

y2

半轴

长，b表示短半轴长，c表示焦点到原点的距离。

抛物线

是y2=2px，p没有什么确实的几何意义，不过，p的正负可以决定开口方向。

是x2/a-y2/b=1，a2=b2+c2

a表示实轴长，b表示虚轴长。a和b可以确定双曲线的

渐近线

。

参数方程中是把直线代入圆锥曲线还是圆锥曲线代入直线？

供参考。

一般都是将直线的参数方程带入椭圆方程中，然后参数方程：x=X+acosθ y=Y+bsinθ (θ为参数 )形成关于参数t的一元二次函数，利用韦达定理求出 t1+t2= ??? 和t1t2=？？。然后t圆锥曲线中求点的轨迹方程的几何意义来解答问题

圆锥曲线的所有定理 高中以上

焦点到最近的准线的距离等于ex±a

圆锥曲线

1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。

2. 双曲线：到两个定点的距离的的为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。

4. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。

·圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。

·圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程：

1）直线

参数方程：x=X+tcosθ y=Y+tsinθ (t为参数）

2）/b=1，c2=a2-b2不妨画一个椭圆，你可以画成像个水平放置的鸡蛋的形状，那么，a就表示长圆

参数方程：x=X+rcosθ y=Y+rsinθ (θ为参数 )

直角坐标：x^2+y^2=r^2 (r 为半径）

3）椭圆

直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

4）双曲线

参数方程：x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ为参数 )

直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）

5）抛物线

参数方程：x=2pt^2 y=2pt (t为参数)

直角坐标：y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )

圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为

其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

参数方程基础知识

例如:有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆(用上面的定义):

高考复习之参数方程

ρ=ep/(1-e·cosθ)

1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.

2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.

二、知识结构

1.直线的参数方程

(1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是

(t为参数)

(2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是

(t不参数) ②

在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时， ｜ t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是

直线参数方程的应用 设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是

若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则

(1)P1、P2两点的坐标分别是

(x0+t1cosα,y0+t1sinα)

(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；

(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;

(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则

t=

中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜

t1+t2=0.

2.圆锥曲线的参数方程

(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是(φ是参数)

φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)

(2)椭圆 椭圆(a＞b＞0)的参数方程是

(φ为参数)

椭圆 (a＞b＞0)的参数方程是

(φ为参数)

3.极坐标

极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.

点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标