高中数学：函数的意义与意义

函数的意义

一、函数的定义

高中数学：函数的意义与意义

函数的传统定义：

设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

我们将自变量x取值的叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的叫做函数的值域。

函数的近代定义：

设A，B都是非空的数的，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象A叫做函数f(x)的定义域，象C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。

符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：

x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。

对函数概念的理解

函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。y＝f（x）的意义是：y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以是函数的核心。至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，这是无关紧要的。

函数的定义域（即原象）是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了。因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可。只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：

1）定义域不同，两个函数也就不同；

2）对应法则不同，两个函数也是不同的；

3）即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能地确定函数的对应法则。

例如：函数y＝x＋1与y＝2x＋1，其定义域都是x∈R，值域都为y∈R。也就是说，这两个函数的定义域和值域相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数。

定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素。由于值域可由定义域和对应法则确定。两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数。

例如：在①y＝x与，② 与，③y＝x＋1与，④y＝x0与y＝1，⑤y＝｜x｜与这五组函数中，只有⑤表示同一函数。

f（x）与f（a）的区别与联系

f（a）表示当x＝a时函数f（x）的值，是一个常量。而f（x）是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值。如一次函数f（x）＝3x＋4，当x＝8时，f（8）＝3×8＋4＝28是一常数。

当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则。

比如f（x）＝x2＋1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，这时此式是以x为自变量的函数的解析式；而对于f（x＋1）＝3x2＋2x＋1，左端表示对x＋1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x＋1的函数解析式。

生成函数的介绍

生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。早提出母函数的人是法国数学家LaplaceP.S.在其1812年出版的《概率的分析理论》中明确提出。生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。生成函数的应用简单来说在于研究未知（通项）数列规律，用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项，生成函数是推导Fibonacci数列的通项公式方法之一。另外生成函数也广泛应用于编程与算法设计、分析上，运用这种数学方法往往对程序效率与速度有很大改进。

生成函数的背景和意义

具体背景和意义如下：

函数的背景：中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。

函数的意义是在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个里的每一个元素对应到另一个里的元素。

什么是函数?函数的意义是什么?

函数是发生在之间的一种对应关系。

函数的意义：

函数是一种关系，这种关系使一个里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）里的元素应变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。

函数的由来：

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词，是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。

古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量，这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫作x的函数。”

《组合数学》读书笔记 kirai 16.11.1（第七章递推关系和生成函数）

读了组合数学的递推关系和生成函数一章，递推关系就是在求离散化的微分方程感觉做起来很嗨皮，母函数就是在用代数的手段处理一些计数问题。特点就是构造一个多项式，将多项式中的项和系数拆分出来分别表示解的可能性和解的计数。这种构造很需要数学的直觉，当然书中也给出了两种常见的母函数。一类是1,x,x^2...被称为常规生成函数；另一类是1,x,x^2/2!,...被称为指数生成函数。常规的生成函数是1/(1-x)的泰勒展开，而指数生成函数是自然指数的泰勒展开。

生成函数的形式决定了生成函数可以被看作是收敛的，因为生成函数的每一项的意义就是用来表示解的可能性，而没有其他实际意义。

转而考虑在acm中的应用，一般情况想要使用生成函数是为了获取通项公式，使用生成函数一定要计算多项式乘法，所以应当结合FFT来完成工作。当然更常规的做法是获取递推关系，进而用矩阵优化完成递推过程，还需要多做题感受他们的异才是。